MATEMÁTICAS

INTEGRALES Matemáticas y arquitectura El cálculo integral y el ´área de la bóveda de arista. En la figura siguiente hemos representado la octava parte de una bóveda de arista, referida a un sistema ortogonal de referencia. Dicha porción de bóveda se apoya sobre una superficie cilíndrica de ecuación y2 +z2 = λ2 [⇒ z =λ2 − y2] y determina sobre el plano OXY un recinto R limitado por cuatro rectas de ecuaciones y = 0, y = x, x =0y x = λ   Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Aproximaciones a la integral de  entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo). Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales. Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento: Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la función , acotada entre  y . La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función , en el intervalo desde hasta ? es: que el área coincidirá con la integral de . La notación para esta integral será

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f '(c)=0,  f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0,  f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Teorema

Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de  f existe en un intervalo abierto que contiene a x

Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).

Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).

Si f ''(x) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x, un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

El criterio de la segunda derivada proporciona la concavidad de una curva de la siguiente manera.

a) Puntos críticos.

b) Valores máximos y mínimos.

c) Punto de inflexión.

d) La gráfica de la función.

f(x) = 3x^2 + 5x - 2

a) Puntos críticos:

f'(x)6x + 5 = 0

x = -5/6

x = -0.83

- Para obtener el punto crítico se debe de despejar la "x" en la primera derivada.

- Para obtener la segunda derivada se debe de sacar la segunda derivada y despejar la "x" si es el caso.

- La concavidad se puede deducir dependiendo del resultado de la segunda derivada. Si es positivo la concavidad estará feliz. Si es negativo la concavidad estará triste.

- El resultado también depende de la segunda derivada, si aumenta dependiendo del punto crítico, es mínimo, si disminuye dependiendo del punto crítico entonces será máximo.

PUNTO DE INFLEXIÓN:

- Igualar la segunda derivada con cero (0). (en este caso no hay punto de inflexión)

 GRÁFICA:

- Sustituyes en la función original el punto crítico.(hay casos en que son dos puntos críticos)

- Sustituyes en la función original el punto de inflexión.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos:

- El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x".

- El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico.

- La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada.

- El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja".

- El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo.

GRÁFICA:

La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el punto crítico y asi obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica.

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,  f(c)).

2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,  f(c)).

3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

Punto de inflexión

Para el punto de inflexión desde el punto de vista del clima,

Gráfico de y = x³ con un punto de inflexión en el punto (0,0).

Gráfico de y = x³, rotado, con tangente en el punto de inflexión en el punto (0,0).

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real[editar]

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segundaderivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se halla la tercera derivada de 
4. Se iguala la segunda derivada a 0: 
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:  .
6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
2. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación  no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en  la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que  tampoco presenta un extremo en .

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométrica mente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo

Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada., para determinar la pendiente de la recta tangente a una  curva  en un punto cualquiera de ella. Los dos  problemas  conducen al mismo cálculo: el límite de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero.  Puesto  que, muchos  problemas  importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada de una función, derivadas laterales, teoremas sobre derivadas, derivación implícita, derivadas de orden superior, etc.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Arquitectura, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto.

La derivada es un límite por lo tanto una aplicación en la vida diaria de la derivada seria también del límite. La derivada se utiliza mucho en matemática se puede usar diferentes campos como el área de un círculo, el volumen y superficie de una esfera. Las derivadas o diferenciales  tienen demasiadas aplicaciones, son la base de la mayoría de las ingenieras con las integrales puedes calcular la profundidad de un barranco o vacío. También la altura de una montaña. Y también el área que ocupa cualquiera de las anteriores. Además para calcular las áreas de figuras no geométricas. Con las derivadas puedes calcular cual sería el mejor punto para ver una peli en el cine. Los arquitectos usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares

LIMITES

El vocablo que nos ocupa en primer lugar, límite, podemos decir que se trata de una palabra que procede, etimológicamente hablando, del latín. En concreto, emana del sustantivo “limes”, que puede traducirse como “frontera o borde”.

Límite de una función

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por su parte, también coincide con el término anterior en lo que respecta a su origen. Y es que, de igual modo, viene del latín, más exactamente de “functio”, que es sinónimo de “función o ejecución”

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Dentro de lo que sería el límite de la función, tendríamos que destacar la existencia de una teoría muy importante. Nos estamos refiriendo a la teoría del sándwich, también conocida como teorema del emparedado, que tiene su origen en tiempos del físico griego Arquímedes, que la usó al igual que hiciera el matemático Eudoxo de Cnido, que era discípulo del filósofo Platón.

No obstante, se considera que el verdadero formulador de aquella no es otro que el matemático y astrónomo alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), que ha pasado a la Historia por el calificativo de “príncipe de las Matemáticas”.

Ese teorema tenemos que decir que lo que viene a establecer es que si dos funciones se decantan por el mismo límite en lo que se refiere a un punto concreto, cualquier otra función que se establezca entre ambas también compartirá con ellas el mismo límite.

Dentro del ámbito del análisis matemático y del cálculo, y más exactamente en el área de las demostraciones, es donde se suele recurrir al uso de la teoría del sándwich, que también es llamada teorema del ladrón y los dos policías.

Los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque la notación moderna surgió en el siglo XVIII a partir del trabajo de diversos especialistas. Se dice que Karl Weierstrass fue el primer matemático en proponer una técnica precisa, entre 1850 y 1860.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.

APLICACIÓN

Los límites de cálculo básico os sirven para calcular hasta donde una función tendrá su limite exacto, os decir hasta donde esta os dará un resultado parecido a 0.

Un ejemplo que os encontraras muy sencillo es cuando e (euler) lo miramos por la derecha y la izquierda este os dará siempre una función tendida a O
os daré un link de euler en donde os dejáis esta duda


Las aplicaciones en la vida real de los limites

Los limites os calculáis para estimar que tan rapido se enfría un pavo al sacarlo de un horno , para explicar lo que en realidad un velocimetro os muestra en un automóvil y para estimar la corriente eléctrica que fluye del capacitor a la unidad de destello (flash de una cámara)
un ejemplo muy común es en la vida de un ingeniero en donde os el tendrá que medir y calcular el limite cuando una población de bacterias a través de un determinado tiempo aumentara su población.

en ing civil cuando la superficie de un terreno os tiene que servir para dicha construcción y medir el limite con que presión de un taladro os debe perforar la tierra.



APLICACIÓN DE FUNCIONES EN ARQUITECTURA

El mundo de las matemáticas y la geometría forma parte de nuestra vida cotidiana aunque no nos demos cuenta. Proponemos un análisis diferente de objetos, edificaciones, arte, videojuegos, música… que hará descubrir curiosidades y grandes propiedades del campo matemático.

Hoy en día estamos rodeados de objetos y construcciones “de diseño”, pero, ¿cuál es el elemento que poseen para ser tan atractivos o simplemente construibles? La respuesta la encontramos en las matemáticas, concretamente en el álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal.

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades. El término “álgebra” viene de un vocablo árabe que significa reducción, cuyos orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que resolvían cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Permite la formulación general de leyes de aritmética, operar con números desconocidos y la formulación de relaciones funcionales.

La Geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el espacio. Proviene del griego γεωμετρία, geo (tierra) y metría (medida). Ya en el antiguo Egipto el empleo de geometría estaba muy desarrollado para el cálculo de volúmenes y superficies en construcción.

El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral. Usualmente se le acredita a Leibniz y Newton la invención del cálculo, que, aunque desarrollaron sus teorías hacia diferentes aplicaciones empleaban ambos el teorema fundamental del cálculo.

A continuación expondremos las propiedades y funciones matemáticas más empleadas en arte, diseño y construcción desde tiempos antiguos.

Torre Eiffel (1889)

Esta estructura de hierro pudelado diseñada por Gustave Eiffel aplica el álgebra y el cálculo infinitesimal para desarrollar una ecuación adaptable al peso de la torre. Para hacernos una idea de cómo se aplica, antes se debe comprender qué es una ecuación exponencial.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en el exponente, representada por una función exponencial, es decir, una gráfica que nos muestra su desarrollo. Las funciones son infinitas, pero acercándonos siempre a un límite conocido por asíntotas dándose el 0 (plano horizontal del suelo) y +∞ (el eje vertical de la torre). El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la torre.


Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la Torre. Weidman encontró una solución exacta de la ecuación en forma de una función exponencial que se ajusta rigurosamente a la forma de la mitad superior de la torre.

La clave para su solución deriva dedos ecuaciones exponenciales diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad de la estructura en su base.




CÓNICAS EN LA ARQUITECTURA

Sección cónica
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

LA ELIPSE
es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

LA HIPÉRBOLA
es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

LA PARÁBOLA
es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Todas ellas tienen una gran importancia en la Arquitectura, ya que la misma forma tiene una buena resistencia estructural, y estética se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. Este uso se ve dado en puentes, anfiteatros, en escaleras, cúpulas, estadios, etc.

Las formas cónicas no solo se aplica en la arquitectura como composición de volúmenes, sino también como limitador de espacios arquitectónicos.

Cónicas en la Arquitectura

Desde tiempos remotos y en diferentes espacios, los arquitectos se basaron en abstraer figuras geométricas para aplicarlas en sus diseños, es por esto el uso de las cónicas en la arquitectura. Estas figuras cónicas son la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

Podemos apreciar que este uso de cónicas se daba en la arquitectura de las diferentes culturas antiguas.

Al evolucionar la arquitectura, los materiales, la tecnología, etc, las edificaciones construidas mostraban y muestran la forma de las figuras cónicas que esteticamente hablando nos genera un goce por las bellezas que se pueden diseñar. Así lo demuestra el gran arquitecto Antoni Gaudí.

En construcciones modernas también se pueden apreciar las figuras cónicas. Están presentes en puentes, ya que poseen una buena resistencia estructural distribuyendo el peso, también presentes en cúpulas variando de acuerdo a la función y estructura a la cual deban regirse.

En escaleras, balcones y diferentes partes de una edificación también estan presentes las figuras cónicas.

Ese es el uso que los arquitectos le dan a las figuras cónicas en sus diseños, y podemos darnos cuenta de la capacidad estructural que generan, el soporte, y los bellos diseños que podemos encontrar desde la antiguedad hasta hoy en día.

Christian Santivañez Gutiérrez - TC

MATRIZ EN ARQUITECTURA

La matriz es una representación gráfica que permite descubrir cualquier tipo de relación deseada entre actividades, por medio de ejes cartesianos que se prolongan y forman una retícula, sobre la cual se vacían los datos deducidos.

Es una retícula en 2 dimensiones compuesta por números o datos colocados en líneas o columnas. Que se emplea para jerarquizar la importanciarelativa de los locales, así como la relación entre ellos, indicándose el grado de atracción o repelencia entre los mismos.

Por medio de esta matriz pasamos a esquematizar el diagrama defuncionamiento. La cual es un esquema que para su elaboración es necesaria una simbología, en este caso fue numérica: 0-nulo, 1-medio, 2-importante, 3-muy importante y mediante un gráfico se van anotandola relación que existe entre cada una de las áreas. Nos sirve para poder definir el nivel de relación que hay entre cada una de las partes del programa arquitectónico con las demás

·         Matriz de espacios

·         Matrizpor zonas

·         Matriz por áreas

·          

CONCEPTO DE MATRIZ EN ARQUITECTURA

¿Qué es una matriz?

En términos matemáticos es una ordenación rectangular de elementos algebraicos que pueden sumarse y multiplicarse. Se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Pueden sumarse,multiplicarse y también descomponerse de diferentes formas.

En términos de programación es un conjunto de variables del mismo tipo cuyo acceso se realiza por índices. Es una zona de almacenamiento continuo que contiene una serie de elementos del mismo tipo, los elementos de la matriz. Desde el punto de vista lógico, una matriz se puede ver como un conjunto de elementos ordenados en fila.

Resumen concepto de matriz:

Ordenación, elementos, suma, multiplicación, descomponer, sistemas de ecuaciones, registrar, parámetros, conjunto, variables, almacenamiento...

En http://cdn5.xombit.com/wp-content/blogs.dir/19/files/2011/06/ecuacion-eiffel-460x100.jpgcuanto al dibujo, stan allen en data mechanics for a topological age (1998), señalaba que las representaciones gráficas tradicionales presuponían objetos estables, pero la ciudad contemporánea no se puede reducir a obje

Tos fijos, todo interactúa en formaciones complejas.

Stan allen sugiere que una revisión de herramientas gráficas como notaciones, mapas y diagramas podría empezar a sugerir nuevos modos de trabajar con las dinámicas complejas de la ciudad contemporánea para abordar programas, acontecimientos y tiempo.

Una notación permite la presentación simultánea y el juego de información a diversas escalas, trasladando coordenadas e incluso diferentes códigos lingüísticos.

Un mapa es la convención lingüística de un territorio, define posiciones, condiciones o simplemente datos sobre un territorio.

Un diagrama conjuga información, relaciones o asociaciones y los fenómenos de organización, el espacio o la materia.